Welche zwei Merkmale machen ein gleichschenkliges Dreieck aus

Berechnungen im gleichschenkligen Dreieck

Bis jetzt hast du nur in einem rechtwinkligen Dreieck gerechnet. Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich auch nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden.

Im allgemeinen gleichschenkligen Dreieck gibt es keinen rechten Winkel. Du erzeugst einen rechten Winkel, indem du die Höhe auf die Basis einzeichnest.

Es gilt:

$$a = b$$     $$alpha = beta$$     $$x = y = c/2$$

Beispiel:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit $$a = b = 5$$ $$cm$$,   $$alpha = 50^°$$.
Berechne den Winkel $$gamma$$ und die Länge der Basis $$c$$.

$$gamma = 180^° - 2*50^°$$
$$gamma = 80^°$$

Jetzt berechnest du die Strecke $$x$$:

$$cos alpha = x/b$$   $$|*b$$

$$b*cos alpha = x$$

$$5*cos 50^° = x$$

$$3,21$$ $$cm$$ $$=x$$

$$x$$ ist die Hälfte der Basis $$c$$. Also $$c = 3,21*2 = 6,42$$ $$cm$$.

Gleichseitige Dreiecke

In gleichseitigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß.

$$a=b=c$$     $$x = y = c/2$$     $$alpha = beta = gamma$$

Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten, zeichnest du wieder eine Höhe ein. Sie halbiert die Seite, weil es ein gleichseitiges Dreieck ist.

Beispiel:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit $$h_c=5$$ $$cm$$, $$alpha=60^°$$. Berechne die Länge der Seite $$a$$.

$$sin alpha = (h_c)/a$$   $$|*a$$

$$a*sin alpha = h_c$$   $$|:$$$$sin alpha$$

$$a = (h_c)/(sin alpha)$$

$$a = 5/(sin 60^°)$$

$$a = 5,77$$ $$cm$$

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