Was ist die metrische Raumtopologie

Topologische und metrische Räume - Teil I


\(\begingroup\) Meistens macht man in der Analysis 2 die ersten Bekanntschaften mit metrischen oder topologischen Räumen. Begriffe wie Kompaktheit, offene und abgeschlossene Kugeln oder der Satz von Heine-Borel werden meistens zuerst eingeführt und einige Studenten sind mit diesen neuen Begriffen und der abstrakten Denkweise total überfordert. In diesem Artikel wollen wir versuchen, genau und "anschaulich" zu erklären, was man sich unter metrischen oder topologischen Räumen vorstellen kann und was man unter Überdeckungskompaktheit oder Folgenkompaktheit versteht. Kurz gesagt: Wir werden die wichtigsten Begriffe, die wir mit metrischen und topologischen Räumen verbinden, einführen, definieren und bedeutende und schöne Sätze beweisen. Klar ist aber auch, dass dieser Artikel nur eine erste Einführung darstellen soll und keinesfalls Anspruch auf Vollständigkeit erhebt. ;) Eine grobe Übersicht: §1 Metrische Räume§2 Topologische Räume§3 Normierte Vektorräume§4 Banachräume§5 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen§6 Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen§7 Sätze über stetige Abbildungen

Da die ganzen Themen für einen Artikel zu viel wären, planen wir insgesamt drei Artikel mit folgender Aufteilung: Topologische und metrische Räume I:§1 Metrische Räume 1.1 Was ist ein metrischer Raum? 1.2 Beispiele für Metriken und metrische Räume 1.3 Wichtige Begriffe 1.4 Ein paar nette Sätze §2 Topologische Räume 2.1 Was ist eine Topologie? 2.2 Beispiele für Topologien und topologische Räume 2.3 Ein paar Definitionen Topologische und metrische Räume II:§3 Normierte Vektorräume 3.1 Was ist ein Vektorraum? 3.2 Wie ist eine Norm definiert? §4 Banachräume 4.1 Banachraum - Was ist das? 4.2 Beispiel für Banachräume Topologische und metrische Räume III:§5 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen 5.1 Definition der Stetigkeit 5.2 Stetigkeitskriterium §6 Stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen 6.1 Wie kann man die Stetigkeit zwischen topologischen Räumen definieren? 6.2 Beispiele §7 Sätze über stetige Abbildungen 7.1 Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen 7.2 Weitere wichtige Sätze über stetige Abbildungen

§1 Metrische Räume

1.1 Was ist ein metrischer Raum?

Wie euch sicherlich schon in der Analysis 1 aufgefallen sein sollte, untersucht man in der Analysis häufig Grenzwertprozesse. Hierfür ist ein adäquater Konvergenzbegriff von Nöten. Dafür müssen Abstände bzw. Abweichungen gemessen werden, z.B. wie weit bei einer Funktion der Form f: M -> N zwischen zwei Mengen M und N die Funktionswerte f(x) und f(y) von einander entfernt sind bzw. abweichen, wenn die Abweichungen von x und y in M bekannt sind. Genau dies erfüllt der Begriff der Metrik. Die genaue Definition lautet: \big\ (Definition einer Metrik)____ Sei M eine Menge. Eine Metrik__ ist eine Abbildung d: M\cross\ M ->\IR auf M\cross\ M, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind: i) \darkblue\ Positive Definitheit Für alle x, y\el\ M gilt d(x,y)>=0 Gleichheit gilt genau dann, wenn x=y. ii) \darkblue\ Symmetrie d(x,y)=d(y,x) \forall\ x, y\el\ M iii) \darkblue\ Dreiecksungleichung d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z) \forall\ x, y, z\el\ M Das Paar (M, d) nennt man einen (metrischen Raum)____. Für den ein oder anderen mag diese Definition schon etwas kompliziert klingen. Die Idee dahinter ist aber mehr als simpel. Füllen wir die Definition doch mal mit Leben. Stellt euch vor ihr steht gerade an eurer Universität am Haupteingang, z.B. in Hannover. i) Dieses Axiom fordert, dass der Abstand von euch zu irgendeinem Ort immer eine positive reelle Zahl ist und dass der Abstand von euch zu euch selbst Null ist. ii) besagt nichts anderes als dass der Abstand von eurer Universität (z.B. Hannover) zu einer anderen Universität, z.B. München genauso groß ist wie der Abstand von der Universität München nach Hannover. iii) Die Dreiecksungleichung kann man sich so verdeutlichen: Wenn ihr auf dem Weg von Hannover nach München einen Umweg über Berlin macht, müsst ihr euch nicht wundern, wenn ihr länger unterwegs seid. Solche und ähnliche lustige, aber hilfreiche Erklärungen finden sich in [1].

1.2 Beispiele für Metriken und metrische Räume

Ich wette, dass jeder von euch einen metrischen Raum kennt. Dass euch der Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes schon vertraut sein sollte, zeigt Beispiel 1. Wir werden im Folgenden ein paar Beispiele angeben, die ebenfalls zeigen sollen, wie man in Übungsaufgaben Metrikeigenschaften nachweist. \big\ Beispiel 1: Die Menge der reellen Zahlen mit der Abstandsmetrik d(x,y):=abs(x-y) bilden einen metrischen Raum. \big\ Beispiel 2: Die Metrik aus Beispiel 1 kann man sehr leicht auf den \IR^n=\IR\cross\ ...\cross\ \IR übertragen. Für x=(x_1, ..., x_n) und y=(y_1, ..., y_n) \el\ \IR^n setzen wir norm(x):=sqrt((x_1)^2+...+(x_n)^2). Dann ist d(x,y):=norm(x-y) eine Metrik. Als Übungsaufgabe solltet ihr die Axiome, die für eine Metrik gelten müssen, nachprüfen. Positive Definitheit und Symmetrie bekommt ihr fast geschenkt, nur die Dreiecksungleichung erfordert etwas mehr Arbeit. Spätestens wenn wir die Norm im zweiten Artikel dieser Serie einführen, werden wir euch sozusagen eine Lösung präsentieren. \big\ Beispiel 3: Sei M eine beliebige Menge. Die Abbildung d: M\cross\ M->\IR mit d(x,y):=cases(0,x=y;1,x!=y) definiert eine Metrik auf M. Man bezeichnet sie als die \big\ diskrete Metrik. \big\ Beispiel 4: In Analogie zu Beispiel 2 definiert d(x,y):=sqrt(sum((x_k-y_k)^2,k=1,n)) auf der Menge M:=\IR^n mit der Abbildung d:\IR^n\cross\ \IR^n->\IR eine Metrik. Auch sie hat einen besonderen Namen, man nennt sie die \big\ euklidische Metrik. \big\ Beispiel 5: Sei auch hier M=\IR^n. Die Metrik d(x,y):=max_(k=1,...,n) abs(x_k-y_k) heißt \big\ Maximumsmetrik. Wenn wir den Begriff der Norm kennen, werden wir eine "Verallgemeinerung" dieser Metrik auf den Vektorraum der stetigen reellen Funktionen kennenlernen, nämlich die Maximumsnorm oder Supremumsnorm. Dazu aber im zweiten Artikel mehr. \big\ Beispiel 6: Mit diesem Beispiel wollen wir zeigen, wie ihr bei Übungsaufgaben vorgehen müsst, um zu zeigen, dass eine gewisse Abbildung eine Metrik definiert. Es ist klar, was ihr zu tun habt. Ihr müsst die positive Definítheit, die Symmetrie und die Dreiecksungleichung nachweisen. Zeige, dass auf \IR_(>0):=(0, \inf ) durch d: \IR_(>0)\cross\ \IR_(>0)->\IR: d(x,y):=abs(x-y)/xy eine Metrik definiert wird. Positive Definitheit und Symmetrie sind geschenkt. :) Nur die Dreiecksungleichung erfordert etwas Arbeit. Dies sieht man so ein: Bedenke, dass wir zeigen müssen, dass d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y): d(x,z)+d(z,y)=abs(x-z)/xz+abs(z-y)/yz >=abs((x-z)/xz+(z-y)/yz) =abs((xy-yz+xz-xy)/(xyz))= abs((z(x-y))/(xyz))= abs(x-y)/xy=d(x,y) \bigbox

1.3 Wichtige Begriffe

Wir geben nun eine Menge an neuen Begriffen, die euch bestimmt nicht sofort im Gedächtnis bleiben und die ihr erst nach mehrfachem Lesen und Überlegen nachvollziehen könnt. Aber glaubt mir, das wird. :) \big\ Offene und abgeschlossene Kugel: Sei (M, d) ein metrischer Raum, x_0\el\ M und r>0. Die Menge U(x_0,r):=menge(x \el\ M: d(x,x_0)